Fatoração de Polinômios
Fator Comum em Evidência
Usamos esse tipo de fatoração quando existe um fator que se repete em todos os termos do polinômio.
Esse fator, que pode conter número e letras, será colocado na frente de parênteses.
Nos parênteses ficará o resultado da divisão de cada termo do polinômio pelo fator comum.
Na prática, fazemos os seguintes passos:
Identificar se existe algum número que divide todos os coeficientes do polinômio e letras que se repetem em todos os termos.
Colocar os fatores comuns (número e letras) na frente dos parênteses (em evidência).
Colocar nos parênteses o resultado da divisão de cada fator do polinômio pelo fator que está em evidência. No caso das letras, usamos a regra da divisão de potências de mesma base.
Exemplo 1
a) Qual é a forma fatorada do polinômio 12x + 6y - 9z?
Primeiro, identificamos que o número 3 divide todos os coeficientes e que não existe nenhuma letra que se repete.
Colocamos o número 3 na frente dos parênteses, dividimos todos os termos por três e o resultado colocamos nos parênteses:
12x + 6y - 9z = 3 (4x + 2y - 3z)
Exemplo 2
b) Fatore 2a2b + 3a3c - a4.
Como não existe número que divide simultaneamente 2, 3 e -1, não colocamos nenhum número na frente dos parênteses.
A letra a se repete em todos os termos. O fator comum será o a2, menor expoente do a na expressão.
Dividimos cada termo do polinômio por a2:
Colocamos o a2 na frente dos parênteses e os resultados das divisões nos parênteses:
Agrupamento
No polinômio que não exista um fator que se repita em todos os termos, podemos usar a fatoração por agrupamento.
Para isso, devemos identificar os termos que podem ser agrupados por fatores comuns.
Nesse tipo de fatoração, colocamos os fatores comuns dos agrupamentos em evidência.
Os termos mx e 3nx tem como fator comum o x. Já os termos my e 3ny possuem como fator comum o y.
Colocando esses fatores em evidência:
x (m + 3n) + y (m + 3n)
Note que o (m + 3n) agora também se repete nos dois termos.
Colocando novamente em evidência, encontramos a forma fatorada do polinômio:
mx + 3nx + my + 3ny = (m + 3n) (x + y)
Trinômio Quadrado Perfeito
Trinômios são polinômios com 3 termos.
Os trinômios quadrados perfeitos a2 + 2ab + b2 e a2 - 2ab + b2 resultam do produto notável do tipo (a + b)2 e (a - b)2.
Assim, a fatoração do trinômio quadrado perfeito será:
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 (quadrado da soma de dois termos)
a2 - 2ab + b2 = (a - b)2 (quadrado da diferença de dois termos)
Para saber se realmente um trinômio é quadrado perfeito, fazemos o seguinte:
- Calcular a raiz quadrada dos termos que aparecem ao quadrado.
- Multiplicar os valores encontrados por 2.
- Comparar o valor encontrado com o termo que não apresenta quadrados. Se forem iguais, é um quadrado perfeito.
Exemplo 4
a) Fatorar o polinômio x2 + 6x + 9
Primeiro, temos que testar se o polinômio é quadrado perfeito.
√x2 = x e √9 = 3
Multiplicando por 2, encontramos: 2 . 3 . x = 6x
Como o valor encontrado é igual ao termo que não está ao quadrado, o polinômio é quadrado perfeito.
Assim, a fatoração será:
x2 + 6x + 9 = (x + 3)2
Exemplo 5
b) Fatorar o polinômio x2 - 8xy + 9y2
Testando se é trinômio quadrado perfeito:
√x2 = x e √9y2 = 3y
Fazendo a multiplicação: 2 . x . 3y = 6xy
O valor encontrado não coincide com o termo do polinômio (8xy ≠ 6xy).
Como não é um trinômio quadrado perfeito, não podemos usar esse tipo de fatoração.
Diferença de Dois Quadrados
Para fatorar polinômios do tipo a2 - b2 usamos o produto notável da soma pela diferença.
Assim, a fatoração de polinômios desse tipo será:
a2 - b2 = (a + b) . (a - b)
Para fatorar, devemos calcular a raiz quadrada dos dois termos.
Depois, escrever o produto da soma dos valores encontrados pela diferença desses valores.
Exemplo 6
Fatorar o binômio 9x2 - 25.
Primeiro, encontrar a raiz quadrada dos termos:
√9x2 = 3x e √25 = 5
Escrever esses valores como produto da soma pela diferença:
9x2 - 25 = (3x + 5) . (3x - 5)
Cubo Perfeito
Os polinômios a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 e a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 resultam do produto notável do tipo (a + b)3 ou (a - b)3.
Assim, a forma fatorada do cubo perfeito é:
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3
a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = (a - b)3
Para fatorar polinômios desse tipo, devemos calcular a raiz cúbica dos termos ao cubo.
Depois, é necessário confirmar se o polinômio é cubo perfeito.
Se for, elevamos ao cubo a soma ou a subtração dos valores das raízes cúbicas encontradas.
Exemplo 7
a) Fatorar o polinômio x3 + 6x2 + 12x + 8
Primeiro, calcularemos a raiz cúbica dos termos ao cubo:
3√ x3 = x e 3√ 8 = 2
Depois, confirmar se é cubo perfeito:
3 . x2 . 2 = 6x2
3 . x . 22 = 12x
Como os termos encontrados são iguais aos termos do polinômio, então é um cubo perfeito.
Assim, a fatoração será:
x3 + 6x2 + 12x + 8 = (x + 2)3
Exemplo 8
b) Fatorar o polinômio a3 - 9a2 + 27a - 27
Primeiro vamos calcular a raiz cúbica dos termos ao cubo:
3√ a3 = a e 3√ - 27 = - 3
Depois confirmar se é cubo perfeito:
3 . a2 . (- 3) = - 9a2
3 . a . (- 3)2 = 27a
Como os termos encontrados são iguais aos termos do polinômio, então é um cubo perfeito.
Assim, a fatoração será:
a3 - 9a2 + 27a - 27 = (a - 3)3
Exemplo 3
Fatore o polinômio mx + 3nx + my + 3ny
