Aula de Matemática de terça-feira.

Dizima Periódica 

A dízima periódica é um número que possui sua parte decimal infinita e periódica, isto é, em sua parte decimal, há um número que se repete infinitamente. Considerada um número racional, ela pode ser representada como uma fração, que é chamada de fração geratriz. Também pode ser simples ou composta.

Representação da dízima periódica

Além da forma de fração, conhecida como fração geratriz, a dízima periódica pode ser representada como um número decimal de duas maneiras. Podemos inserir, ao final do número, reticências ( … ) ou podemos colocar um traço acima do seu período (parte que se repete na dízima), logo uma mesma dízima pode ser representada de dois jeitos. Exemplos:

Dízima periódica simples

Uma dízima periódica simples possui uma parte inteira (que vem antes da vírgula) e o período, que vem depois da vírgula.

Exemplos:

1,333…
1→ parte inteira
3 → período

0,76767676…
0 → parte inteira
76 → período

Dízima periódica composta

Uma dízima periódica composta possui parte inteira (que vem antes da vírgula), parte não periódica e período, que vem depois da vírgula. O que diferencia uma dízima periódica simples de uma composta é que, na simples, só há o período depois da vírgula; na composta, existe uma parte que não se repete depois da vírgula.

Exemplos:

1,5888…
1 → parte inteira
5 → parte não periódica
8→ período

1. Exercícios 12 e 13 do livro de matemática.

2. Calcule a dízima periódica e diga se ela é simples ou composta:

 a)        

b)       

c)       

d)       

e)       

f)       

 Fração geratriz de uma dízima periódica simples

Exemplo: Vamos encontrar a fração geratriz da dízima 1,353535…

• 1º passo: identificar período e parte inteira.

Parte inteira → 1
Período → 35

• 2º passo: encontrar o numerador.

O numerador é o número formado pela parte inteira e o período (no exemplo, é 135) menos a parte inteira, ou seja:

135 – 1 = 134

• 3º passo: encontrar o denominador.

Para isso, vamos avaliar quantos números têm no período da dízima, e, para cada número, acrescentaremos o número 9 no denominador. Como nesse caso há dois números, o denominador é 99. Logo, a fração geratriz é:

3. Exercício 14 do livro de matemática. 

Fração geratriz de uma dízima periódica composta

• 1º passo: identificar as partes da dízima periódica.

Parte inteira→ 2
Parte não periódica → 13
Período →4

• 2º passo: encontrar o numerador.

Para calcular o numerador, vamos escrever o número formado pela parte inteira, parte não periódica e período, ou seja, 2134 menos a parte inteira e a parte não periódica, ou seja, 213.

2134 – 213 = 1921

• 3º passo: encontrar o denominador.

No denominador, para cada número no período, acrescentamos um 9 e, para cada número na parte não periódica, um 0. No exemplo, o denominador é 900.

A fração geratriz é: