Aula de Matemática de Quinta-Feira

Grandezas inversamente proporcionais

Duas grandezas são chamadas de inversamente proporcionais quando um aumento na medida de uma delas faz com que a medida da outra seja reduzida na mesma proporção. Em outras palavras, dadas as grandezas A e B, se houver aumento na medida da grandeza A, ocorre a diminuição da medida da grandeza B, então elas são inversamente proporcionais.

Exemplo: um automóvel move-se a 40 km/h e demora cerca de 5 horas para chegar ao seu destino. Se esse automóvel estivesse a 80 km/h, ele demoraria duas horas e meia para chegar ao seu destino.

Observe que dobrar a velocidade implica em gastar metade do tempo para chegar, ou seja, um aumento na velocidade faz com que o tempo gasto no percurso diminua. Assim, as grandezas velocidade e tempo são inversamente proporcionais. Além disso, a proporção de variação nas medidas das grandezas é a mesma.

Regra de três

A regra de três é uma das ferramentas que podem ser usadas para determinar uma das medidas de uma proporção quando são conhecidas apenas três medidas. Nesse caso, monta-se a proporção usando as medidas disponíveis e aplica-se a propriedade fundamental das proporções. Entretanto, para as grandezas inversamente proporcionais, é preciso dar um passo a mais: antes de aplicar a propriedade fundamental das proporções, é necessário inverter uma das razões.

Exemplo: um automóvel desloca-se a 60 km/h e demora 3 horas para chegar a seu destino. Se esse mesmo automóvel estivesse a 90 km/h, quanto tempo levaria para completar esse mesmo percurso?

A proporção construída a partir dessa situação é:

60 = 3
90    x

Essas grandezas são inversamente proporcionais, pois, aumentando a velocidade, gastaremos menos tempo em um mesmo percurso. Portanto, inverteremos uma das equações:

90 = 3
60    x

Agora, basta aplicar a propriedade fundamental das proporções e resolver a equação resultante:

90x = 3·60

80x = 180

x = 180
     90

x = 2

Serão gastas duas horas a 90 km/h.

Atividades:

1. Carla, dirigindo a uma velocidade média de 60 km/h, consegue chegar ao trabalho em 2 horas. Se aumentasse a velocidade para 80 km/h, em quanto tempo faria o mesmo percurso?

a) 1 hora.

b) 1,5 hora.

c) 2 horas.

d) 2,5 horas.

2. Lucas é filho de agricultor e precisou ajudar seu pai na seguinte situação:

 

Qual deve ser a resposta de Lucas?

a) 4.

b) 8.

c) 16.

d) 18.

4. Para encher o tanque de água do curral do gado, um vaqueiro liga três torneiras que juntas enchem o tanque em 2 horas. Como aumentou a quantidade de gado da fazenda, ele decidiu aumentar as torneiras para agilizar o processo e comprou mais uma torneira de vazão igual às primeiras. Quanto tempo levará para que as torneiras, ligadas ao mesmo tempo, encham o mesmo tanque?

a) 1 hora.

b) 1,5 hora.

c) 1,8 horas.

d) 2 horas.

5. São exemplos de grandezas inversamente proporcionais:

a) Velocidade e distância percorrida.

b) Quantidade de farinha de trigo e tamanho de um bolo.

c) Velocidade e tempo gasto em uma viagem.

d) Quantidade de energia elétrica gasto no mês e valor a ser pago.